分组密码

分组密码是将明文数字序列按固定长度分组，并使用一个密钥和同一加密算法逐组加密的密码。

二进制明文分组长度 $n$ 为分组长度或分组规模。明密文空间 $\{ 0,1 \}^n$。

二进制密钥的长度 $l$ 为密钥长度或密钥规模。密钥空间 $\{ 0,1 \}^l$。

安全原则

混淆，扩散

混淆：明文与密钥关系复杂。

扩散：明文和密钥影响尽可能大，隐藏明文的统计特性和结构规律。

DES 数据加密标准

迭代型分组密码算法。

分组长度：64 bit

密钥长度：64 bit

有效密钥长度： 56 bit（去掉8个校验位）

迭代圈数：16 r

圈密钥长度：48 bit

前15次都一样，最后一次不交换。

初始置换IP

它的本质是：将输入每个字节的第 $i$ 个位集中到输出的一个字节。如第一行 $mod 8$ 均为 2。

逆变换也是一样的道理，只是将其反转。

圈函数

前15次：

$$(L_i, R_i) = (R_{i-1}, L_{i-1} \oplus f(R_{i-1}, K_i))$$

第16次：

$$(L_{16}, R_{16}) = (L_{15} \oplus f(R_{15}, K_{16}), R_{15})$$

f函数

$$f(R, k) = PS(E(R) \oplus k)$$

1. 输入拓展 48 位，与 48 位轮密钥异或。

2. 每 6 位进入 s 盒变换输出 4 位，共计输出 32 位。

非线性变换，s 盒固定，输入第 1,6 位作列、第 2,3,4,5 位作行，查表得到输出。

3. 32 位进入 p 盒置换得到输出。

圈密钥生成算法

置换选择1：64 位丢弃最高位，选 56 位，分为两个 28 位。

置换选择2：从56 位，即两个 28 位中选 24 + 24 = 48 位，即为圈密钥。

循环移位人为设计，迭代 16 次后回到初态。

脱密

加密可拆分为两个对合变换：

1. Feistel函数：

$$(x, y) \longmapsto (x \oplus f_k(y), y)$$

2. 左右块变换：

$$(a, b) \longmapsto (b, a)$$

因为对合变换两次得到自身，故脱密就是圈密钥顺序相反的加密过程。

IDEA 国际数据加密标准

迭代型分组密码算法。

分组长度：64 bit

密钥长度：128 bit

迭代圈数：8 + 1输出 r

圈密钥长度：16 bit 为一块，每圈 6 个， 输出 4 个，共 56 个。

基本运算

$$\oplus 逐位模 2 加$$

$$\boxplus 模 2^{16} 加$$

$$\otimes 模 2^{16} + 1 乘法$$

$$128 比特向量的循环移位变换$$

圈函数

考试不考，也不太想用这种结构，这里我就不求甚解了。

子密钥生成算法

一开始的 128 位直接作为最开始的 8 个 16 位密钥子块。

然后将 128 位循环左移 25 位，得到随后的 8 个密钥子块。

重复这个过程，直到产生 52 个所需的 16 位密钥子块。

脱密

与加密算法相同，密钥变为脱密密钥。

依然，共处理 $G_k$ 和中间块对换 $D$ 都是对合变换，所以直接再次操作即可。

群运算 $Q_k$ 需要使用对应的逆变换 $Q_k^{-1}$。

AES 高级加密标准

也是迭代型分组密码算法。

分组长度：128 bit

密钥长度：128、192 或 256 bit

圈数：10、12 或 14 r

以 128 为例。最开始与原密钥 $\oplus$ ，经过 9 轮圈函数，第 10 轮即出口处理变换。

圈函数

字节代替变换

非线性层，混淆&局部扩散

128 位被分为 16 个字节操作。

其中包含两个操作：

每个字节变换为有限域 $GF(2^8)$ 上的乘法逆元。0 变换为自身：

二元域上的仿射变换：

依然人为规定，查表。

行移位变换

线性混合层，扩散

按照如图字节矩阵进行字节的行移位。

只改变行中字节位置，把同一列的字节分散到不同的列中。

列混合变换

线性混合层，扩散

$$a'_0 = 02 \cdot a_0 \oplus 03 \cdot a_1 \oplus 01 \cdot a_2 \oplus 01 \cdot a_3$$

为了追求整体的扩散，还要进行列混合。

对人为规定的矩阵乘，产生列混合效果。

圈密钥加

密钥参与层

圈密钥矩阵由密钥生成算法产生，简单与之前的结果字节矩阵异或即可。

密钥生成算法

圈密钥长度一定等于分组长度 128 bit，即 4 个 32 位字。圈数 r 共需密钥为 $4(r+1)$ 个 32 位。

设有 $N_k$ 个初始密钥(例如 128 位时，$N_k = 128 / 32 = 4$)，前 $N_k$ 个直接取初始密钥；

非 $N_k$ 倍数也较为简单，取上一轮同余的密钥 $w_{i-N_k}$ 与上一个密钥 $w_{i-1}$ 异或；

只有 $N_k$ 倍数的密钥需要：循环左移 1 字节，使用 AES s 盒进行字节代替，模上一轮同余密钥 $w_{i - N_k}$ 和常数 $Rcon[i/N_k]$。

256 位密钥时略有不同，分三种情况生成。

非倍数与 8 倍数与更少密钥相同；

仅为 4 倍数时，直接进行字节代替并与上一轮同余密钥 $w_{i-N_k}$ 异或。

脱密算法

除圈密钥加不再是对合变换了，故解密过程都采用逆变换。

注意字节代替逆变换的顺序也要反序，先逆仿射变换再应用逆 s 盒。

其他变换没什么特别的，行左移逆操作就是行右移，以此类推。

加脱密的相似性

为什么加解密字节代替和行列操作等顺序不用反过来？

字节代替只修改内容，没改变顺序。反过来操作结果也是一样的。

又因为

$$C^{-1}(X \oplus K) = C^{-1}(X) \oplus C^{-1}(K) = C^{-1}(X) \oplus K'$$

列混合与密钥加广义可交换。